sâmbătă, 21 ianuarie 2017

DIVIDE ET IMPERA

Tags

DIVIDE ET IMPERA


1.    Prezentare generalã

Divide et impera este o tehnica speciala prin care se pot rezolva anumite probleme.
Divide et impera se bazeaza pe un principiu extrem de simplu:descompunem problema in doua sau mai multe subprobleme (mai usoare),care se rezolva, iar solutia pentru problema initiala se obtine combinand solutiile problemelor in care a fost descompusa. Se presupune ca fiecare din probleme in care a fost descompusa problema initiala, se poate descompune in alte subprobleme, la fel cum a fost descompusa problema initiala. Procedeul se reia pana cand (in urma descompunerilor repetate) se ajunge la probleme care admit rezolvare imediata.

Evident nu toate problemele pot fi rezolvate prin utilizarea acestei tehnici. Fara teama de a gresi, putem afirma ca numarul lor este relativ mic, tocmai datorita cerintei ca problema sa admita o descompunere repetata.

Divide et impera este o tehnica ce admite o implementare recursiva. Am invatat principiul general prin care se elaboreaza algoritmi recursivi: ce se intampla la un nivel, se intampla la un nivel, se intampla la orice nivel (avand grija sa asiguram conditiile de terminare). Tot asa, se elaboreaza un algoritm prin divide et imoera: la un anumit nivel avem doua posibilitati:
1)      am ajuns la o problema care admite o rezolvare imediata, caz in care se rezolva si se revine din apel(conditia de terminare);
2)      nu am ajuns in situatia de la punctul 1, caz in care sdescompunem problema in doua sau mai multe subprobleme, pentru fiecare din ele reapelam functia, combinam rezultatele si revnim din apel.

2.    Aplicatii

1)    Maximul dintr-un vector
Se citeste un vector cu n componente, numere naturale. Se cere sa se tipareasca valoare maxima.

Trebuie tiparita valoarea maxima dintre numerele retinute in vector de la i la j(initial i= 1, j=n). Pentru aceasta procedam astfel :
  • daca i=j, valoare maxima va fi v[i] ;
  • contrar vom imparti vectorul in doi vectori (primul vector va contine componentele de la i la (i+j)  div 2, al doilea va contine componentele de la ((i+j) div 2 +1 la j ) , rezolvam subproblemele (aflam maximul pentru fiecare din ele) iar solutia problemei va fi data de valoarea maxima dintre rezultatele celor doua subprobleme.
#include<iostream.h>
int v[10],n;

int max(int i ,int j)
{  int a,b;
   if (i==j) return v[i] ;
   else
     { a=max(i, (i+j)/2);
        b=max((i+j)/2+1,j);
        if  (a>b) return a;
        else return b;
      }
}

main( )
{  cout<<”n=”;cin>>n;
    for  (int i=1;i<=n;i++)
      {cout<<”v[“<<i<<”]=”;cin>>v[i]; }
       cout<<”max=”<<max(1,n);
}

2)    Cautare binarã

Se citeste un vector cu n componente numere intregi, unde nemerele se presupun ordonate crescator si o valoare intreaga (nr). Sa se decida daca nr se gaseste sau nu printre numerele citite, iar in caz afirmativ sa se tipareasca indicele componentei care contine  acea valoare .
O rezolvare în care nr se comparã pe rând cu cele n valori, este lipsitã de valoare (nu exploateazã faptul cã cele n valori sunt în secventã crescãtoare). Algoritmul care va fi propus este mult mai performant si face parte, asa cum am învãtat, dintre algoritmii clasici.
Problema este de a decide dacã valoarea cãutatã se gãseste printre numerele de indice cuprins între i si j (intial i=1, j=n ). Pentru aceasta vom proceda astfel:
  • dacã nr coincide cu vloarea de indice (i+j)/2 ( valoarea de la mijloc ) , se tipãeste indicele si se revine din apel (problema a fost rezolvatã).
  • Contrar, dacã i<j (nu s-a cãutat peste tot) problema se descompune astfel:
-          dacã numãul este mai mic decât valoarea testatã (din mijloc), înseamnã cã avem sanse sã-l gãsim între componentele cu indicele între i si (i+j)/2-1 , caz în care reapelãm functia cu acesti parametri
-          dacã numãrul este mai mare decât valoarea testatã (din mijloc), înseamnã cã avem sanse sã-l gãsim între componentele cu indicele între (i + j)/2+1 si j , caz în care reapelãm functia cu acesti parametri.
Problema nu se descompune în altele care se rezolvã, dupã care nu se comparã solutia, ci se reduce la o subproblemã. În linii mari , acest rationament este de tip Divide et impera.

#include<iostream.h>
int v[100],n,nr;

void caut(int i, int j)
{ if  (nr==v[(i+j)/2])
            cout<<”gasit”<<’ ‘<<”indice”<<(i+j)/2;
  else
      if (i<j)
        if  (nr<v[(i+j)/2])
            caut  (i , (i+j)/2-1;
        else caut  ((i+j)/2+1,j);
};

main ( )
{  cout<<”n=”;cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    { cout<<”v[“<<i<<”]=”;cin>>v[i];}
cout<<”nr=”;cin>>nr;
caut (1,n);
}

 

3)    Sortarea prin interclasare

Se considerã vectorul a cu n componente numere întregi ( sau reale ). Sã se sorteze crescãtor, utilizând sortarea prin interclasare.

 

Dacã dispunem de douã siruri de valori, primul cu m elemente, al diolea cu n elemente, ambele sortate, atunci se poate obtine un vector care contine toate valorile soratate. Algoritmul de interclasare este performant, pentru cã efectueazã cel mult m+n-1 comparatii.

Algoritmul de sortare prin interclasare se bazeazã pe urmãtoarea idee: pentru a sorta un vector cu n elemente îl împãtim în doi vectori care, odatã sortati, se interclaseazã.

 

Conform strategiei Divide et impera, problema este descompusã în alte douã subprobleme de acelasi tip si, dupã rezolvarea lor, rezultatele se combinã (în particular se interclaseazã). Descompunerea unui vector în alti doi vectori care urmeazã a fi sortati are loc pânã când avem de sortat vectori de una sau douã componente.

 

În aplicatie, functia sort sorteazã un vector cu maximum douã elemente; interc interclaseazã rezultatele; divimp implementeazã strategia generalã a metodei studiate.

 

#include<iostream.h>

int a[10],n;

 

void sort (int p,int q, int a[10] )

{

  int m;

    if  (a[p]>a[q])

     {

        m=a[p];

        a[p]=a[q];

        a[q]=m;}

}

void interc (int p,int q, int m, int a[10])

{

   int b[10],i,j,k;

i=p; j=m+1; k+1;

 

while  ((i<m) && (j<=q))

    if (a[i]<=b[j]  c[k]=a[i++]

    else c[k++]=b[j++]

if  (i<=m)

   for (j=1;j<=m;j++)  c[k++]=a[j]

else

   for  (i=j;i<=q;i++)  c[k++]=b[i]


void divimp (int p, int q, int a[10])
{
    int m;
    if ((q-p)<=1) sort (p,q,a);
    else
      {   m=(p+q)/2;
           divimp(p,m,a);
           divimp(m+1,q,a);
           interc(p,q,m,a);
        }
}
mai ( )
{  int i ;
    cout<<”n=”;cin>>n;
    for  (i=1;i<=n;i++)
      {
          cout<<”a[“<<i<<”]=”;cin>>a[i];}
          divimp(1,n,a);
                for  (i=1;i<=n;i++)  cout<<a[i]<<” “;
}


4)    Turnurile din Hanoi
Se dau 3 tije simbolizate prin a,b,c. Pe tija a se gãsesc discuri de diametre diferite, asezate în ordine descrescãtoare a diametrelor privite de jos în sus. Se cere sã se mute de pe tija         a pe b, utilizând ca tija intermediarã tija c, respectând urmãtoarele reguli:
  • la fiecare pas se mutã un singur disc ;
  • nu este permis sã se aseze un disc cu diametrul mai mare peste un disc cu diametrul mai mic.
Rezolvare:

Dacã n=1 se face mutarea ab, adicã se mutã discul de pe tija a pe tija b.

Dacã n=2 se fac mutãrile ac,ab,cb.

            În cazul în care n>2 problema se complicã. Notãm cu H(n,a,b,c) sirul mutãrilor celor n discuri de pe tija a pe tija b , utilizând ca tijã intermediarã, tija c.

Conform strategiei Divide et impera încercãm sã descompunem problema în alte douã subprobleme de acelasi tip, urmând apoi combinarea solutiilor. În acest sens, observãm cã  mutarea celor n discuri de pe tija a pe tija b,utilizând ca tijã intermediarã tija c, este echivalentã cu:
  • muatrea a n-1 discuri de pe tija a pe tija c , utilizând ca tijã intermediarã tija b;
  • mutarea discului rãmas pe tija b;
  • mutarea a n-1 discuri de pe tija c pe tija b , utilizând ca tijã intermediarã tija a.
Parcurgerea celor trei etape permite definirea recursivã a sirului H(n,a,b,c) astfel:

                          H(n,a,b,c) =    {   a,b                                                            dacã n=1
                                                        H(n-1,a,c,b),ab,H(n-1,c,b,a),                 dacã n>1

Exemple:

Pentru n=2 avem: H(2,a,b,c)=H(1,a,c,b),ab,H(1,c,b,a)=ac,ab,cb.

Pentru n=3 avem :

H(3,a,b,c)=H(2,a,c,b),ab,H(2,c,b,a)=H(1,a,b,c),ac,H(1,b,c,a),ab,H(1,c,a,b),cb,H(1,a,b,c)=ab,ac,bc,ab,ca,cb,ab.

include <iostream.h>
char a,b,c;
int n;

void han (int n, char a, char b, char c)
{
   if  (n==1)  cout<<a<<b<<endl;
   else

{
      han(n-1,a,c,b);
      cout<<a<<b<<endl;
      han(n-1,c,b,a);
    }
}

main ( )
{
 cout<<”n=”;cin>>n;
 a=’a’; b=’b’; c=’c’ ;
 han(n,a,b,c);
}





loading...